A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan memuat tiga variabel.
1. Bentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalah ax+by+cz=d, dengan a,b,c, dan d bilangan real. Penyelesaian dari persamaan linear tersebut adalah tiga bilangan x, y, dan z yng memenuhi persamaan, dituliskan (x,y,z).
2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dapat ditentukan dgn beberapa cara yaitu dengan substitusi, eliminasi, dan campuran (gabungan eliminasi-substitusi).
a. Cara substitusi
Diketahui SPLTV berikut.
2x + y + z = 4 ...(1)
3x - y + 2z = -5 ...(2)
x + 2y + 2z = 5 ...(3)
Berikut cara penyelesaian menggunakan cara substitusi.
Persamaan (1) diubah shng salah satu variabel dpt dipisah.
2x + y + z = 4
y = 4 - 2x - z ... (4)
subs. persamaan (4) ke dlm persamaan (2)
3x - y + 2z = -5
3x - (4 - 2x - z) + 2z = -5
3x + -4 + 2x + z + 2z = -5
5x + 3z = -1 ... (5)
Subs. persamaan (4) ke persamaan (3)
x + 2y + 2z = 5
x + 2(4 - 2x - z) + 2z = 5
x + 8 - 4x - 2z + 2z = 5
-3x = -3
x =1
subs. x=1 ke persamaan (5)
5x + 3z = -1
5(1) + 3z = -1
5 + 3z = -1
3z = -6
z = -2
subs. x=1 dan z=-2 ke persamaan (4)
y= 4 - 2x - z
=4 - 2 (1) - (-2)
y=4
Jadi, himpunan penyelesaianny {1,4,-2} <=> {x,y,z}
b. Cara eliminasi
2x + y + z = 4 ...(1)
3x - y + 2z= -5 ...(2)
x + 2y + 2z= 5 ...(3)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2)
2x + y + z = 4 │x3│6x + 3y +3z = 12
3x - y +2z=-5 │x2│6x - 2y + 4z =-10
_____________ -
5y - z = 22 ...(4)
Eliminasi x dari persamaan (1) & (3)
2x + y + z = 4 ⎥x1 ⎥ 2x + y + z = 4
x + 2y + 2z= 5⎥x2 ⎥ 2x +4y +4z=10
____________ -
-3y -3z = -6 ...(5)
Eliminasi y dari persamaan (4) & (5)
5y - z = 22 ⎥x3⎥ 15y - 3z = 66
-3y-3z = -6 ⎥x5⎥-15y-15z =-30
___________ +
-18z = 36
z = -2
Eliminasi z dari persamaan (4) & (5)
5y - z =22⎜x3⎜ 15y -3z = 66
-3y-3z=-6⎜x1⎜-3y - 3z = -6
___________ -
18y = 72
y = 4
Eliminasi y dari persamaan (1) & (3)
2x + y + z =4⎜x2⎜4x + 2y +2z = 8
x + 2y +2z=5⎜x1⎜x + 2y + 2z = 5
_____________ -
3x = 3
x = 1
Jadi, himpunan penyelesainnya {1,4,-2}
c. Cara campuran ( eliminasi-substitusi)
2x + y + z = 4 ...(1)
3x - y +2z =-5 ... (2)
x + 2y + 2z=5 ...(3)
Langkah pertama, eliminasi salah satu variabel..
Eliminasi x dari persamaan (1) & (2)
2x + y + z= 4⎜x3⎜6x + 3y + 3z= 12
3x -y +2z =-5⎜x2⎜6x - 2y + 4z =-10
______________ -
5y - z = 22 ...(4)
Eliminasi x dari persamaan (1) & (3)
2x + y + z = 4⎜x1⎜2x + y + z = 4
x + 2y +2z= 5⎜x2⎜2x +4y+4z=10
____________ -
-3y-3z = -6 ... (5)
Eliminasi y dari persamaan (4) & (5)
5y - z = 22⎜x3⎜15y - 3z = 66
-3y -3z=-6⎜x5⎜-15y-15z=-30
____________ +
-18z = 36
z = -2
Substitusi z=-2 ke persamaan (4)
5y - z = 22
5y -(-2) = 22
5y + 2 = 22
5y = 22 - 2
5y = 20
y = 4
Subs. y=4 dan z=-2 ke persamaan (1)
2x + y + z = 4
2x + 4 +(-2) = 4
2x + 2 = 4
2x = 4 - 2
2x = 2
x = 1
Jadi, himpunan penyelesainnya {1,4,-2}
B. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Untuk mengubah permasalahan sehari-hari menjadi SPLTV dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
1. Melakukan Permisalan atau Memilih Variabel
Variabel dipilih sebagai wakil dari nilai-nilai yang akan dicari. Varibel yang dipilh misalnya x,y, dan z atau bisa juga p,q, dan r.
2. Membuat Model Matematika
Model matematika yng dimaksud berbentuk SPLTV dan menggunakan variabel-variabel yang telah dipilh pada langkah 1.3. Menyelesaikan dan Menafsirkan Penyelesaian SPLTV
SPLTV diselesaikan sehingga diperoleh nilai setiap variabel. Selanjutnya, nilai setiap variabel dicocokkan dengan nilai yang diwakilinya. Dengan demikian, nilai-nilai yang dicari dari permasalahan nyata telah ditemukan.
CONTOH:
Bu Dela, Bu Yanti, dan Bu Risma belanja buah ditoko buah. Bu Dela membeli 2 kg jeruk, 1 kg apel, dan 4 kg pir seharga Rp 112.000,00. Bu Yanti membeli 2 kg apel dan 1 kgpir seharga Rp58.000,00. Bu Risma membeli 3 kg jeruk dan 2 kg pir seharga Rp79.000,00. Berapakah harga masing-masing buah per kilonya?
Langkah 1: Lakukan permisalan
x = harga 1 kg jeruk
y = harga 1 kg apel
z = harga 1 kg pir
Langkah 2: Membuat model matematika
a. Bu Dela membeli 2 kg jeruk, 1 kg apel, dan 4 kg pir sehrg Rp112.000,00. Dari keterangan tersebut diperoleh persamaan:
2x + y + 4z = 112.000 ...(1)
b. Bu Yanti membelo 2 kg apel dan 1 kg pir sehrg Rp58.000,00.
2y + z = 58.000 ...(2)
c. Bu Risma membeli 3 kg jeruk dan 2 kg pir sehrg Rp79.000,00.
3x + 2z = 79.000 ...(3)
Disimpulkan bahwa SPLTV dari masalah tersebut sebagai berikt:
2x + y + 4z = 112.000 ...(1)
2y + z = 58.000 ...(2)
3x + 2z = 79.000 ...(3)
Langkah 3: Menyelesaikan SPLTV dan Menafsirkan Penyelesaian SPLTV
Eliminasi y dari persamaan (1) & (2)
2x + y + 4z = 112.000 丨x2丨 4x + 2y + 8z = 224.000
2y + z = 58.000 丨x1丨 2y + z = 58.000
___________________ -
4x + 7z = 166.000 ...(4)
Eliminasi x dari persamaan (3) & (4)
3x + 2z = 79.000 丨x4丨 12x + 8z = 316.000
4x + 7z = 166.000 丨x3丨 12x +21z= 498.000
_________________ -
-13z = -182.000
z = 14.000
Substitusikan z = 14.000 ke pers. (3)
3x + 2z = 79.000
3x + 2 (14.000) = 79.000
3x + 28.000 = 79.000
3x = 51.000
x = 17.000
Substitusikan z = 14.000 ke pers. (2)
2y + z = 58.000
2y + 14.000 = 58.000
2y = 44.000
y = 22.000
x = 1 kg jeruk = 17.000
y = 1 kg apel = 22.000
z = 1 kg pir = 14.000
Tidak ada komentar:
Posting Komentar